長野県公立高校学力検査 2025年度
【後期】数学
問4

Ⅰ	（1）	リボン（ア）は長方形であるから、AD ∥ BC である。 リボン（イ）は長方形であるから、AB ∥ DC である。 これらより、平行四辺形になるための条件のひとつである「四角形の2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である」が成立する。
		（例） 2組の向かい合う辺 がそれぞれ平行であるとき		3点
	（2） ①	「平行四辺形において、となり合う2つの角の大きさの和は180°になる」（※）ことから、∠BAD = 180° - ∠ABC = 135° である。 【（※）の理由】 　直線AB 上の、点A からみて 点B とは反対側に 点Q をとる。∠QAD = ∠ABC （平行線の同位角）であり、∠QAD + ∠BAD = 180° である。
			135 °	2点
	（2） ②	点C から 辺AB に垂線を引き、辺AB との交点を R とする。リボン（イ）の幅より、CR = 4 である。 △RBC は辺の比が 1 : 1 : √2 の直角二等辺三角形となるから、BC = 4√2 である。 平行四辺形ABCD において 辺BC を底辺とみると、高さはリボン（ア）の幅より 4 であるから、 平行四辺形ABCD = 4√2 × 4 = 16√2 となる。
			16√2 cm2	3点
Ⅱ	（1）	直線AB と 直線CP は平行であるから、∠ABE と ∠PCE 、∠EBA と ∠ECP はそれぞれ等しい（平行線の錯角）。また、∠AEB と ∠PEC は対頂角であるから等しい。 これらのうちいずれか二つを挙げて、相似条件「2組の角がそれぞれ等しい」を導く。
		（例） △ABEと△PCEで、 対頂角は等しいから、 ∠AEB=∠PEC……① 長方形イの向かいあう辺はそれぞれ平行だから、 AB∥PCであり、 平行線の錯角は等しいから ∠ABE=∠PCE……② ①、②から、 2組の角が、それぞれ等しいので、 △ABE∽△PCE		4点
	（2） ①	点E を通り 辺AB と 辺CP に垂直な直線を引き、辺AB との交点を H 、辺CP との交点を I とする（下図）。 リボン（ア）の幅より AE = 4 。またリボン（イ）の幅より HI = 4 であり、△ABE ≡ △PCE であるから EH = EI = 2 である。 △AEH は辺の比が 1 : 2 : √3 の直角三角形になっているから、∠HAE = 30° となる。すなわち ∠BAE = 30° である。
			30 °	2点
	（2） ②	前問の図を使って考える。 △ABE ≡ △PCE であるから、AE = PE = 4 、∠BAE = ∠CPE = 30° である。 △APD に注目すると、AP = 8 、∠PAD = 90° 、∠APD = 30° であるから、これは辺の比が 1 : 2 : √3 の直角三角形である。 よって、PD = (2/√3)AP = (16√3)/3 となる。
				3点
	（3）	線分AC を引く。また、点C から 辺AB に対して垂線を引き、AB と交わる点を J とする。線分AE と 線分CJ との交点を K とする。（関連部分のみ下図に示す。） リボン（ア）（イ）（ウ）の幅より、AE = 4 、CJ = 4 、EC = 3 である。 △AEC ≡ △CJA が成り立つ（直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい）ので、AJ = CE = 3 。 ∠AKJ = ∠CKE より ∠JAK = ∠ECK であり、△AJK ≡ △CEK が成り立つ（1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい）ので、AK = CK 、JK = EK 。 AK = x とすると、EK = 4 - x = JK 。 △AJK において、三平方の定理より、AJ2 + JK2 = AK2 が成り立つ。すなわち 32 + ( 4 - x )2 = x2 。 これを解くと x = (25/8) となるから、AK = CK = (25/8) 、JK = EK = (7/8) 。 △AEB ∽ △CEK が成り立ち（2組の辺の比がそれぞれ等しい）、相似比は AE : CE = 4 : 3 であるから、 BE : KE = 4 : 3 、すなわち BE : (7/8) = 4 : 3 より BE = (7/6) 。 以上より、BE : EC = (7/6) : 3 = 7 : 18 。
			BE : EC = 7 : 18	3点