埼玉県公立高校学力検査 2024年度
数学（学校選択）
大問1
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4点 | ||
| （2） | 共通因数をくくり出して、式を変形してから x と y を代入する。 |
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4点 | ||
| （3） | x - 1 = A とおき、 5A2 + 3A - 1 = 0 に対して2次方程式の解の公式を適用する。 |
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4点 | ||
| （4） | ア （誤）度数の合計が20であるから、中央値は10番目と11番目の値の平均である。これは12冊以上16冊未満の階級にある。 イ （誤）8冊以上12冊未満の階級の度数が4である。相対度数は 4 ÷ 20 = 0.2 である。 ウ （誤）度数が最も大きい階級の階級値が最頻値である。度数が最も大きい階級は12冊以上16冊未満（8人）で、その階級値は14である。 エ （正）12冊以上16冊未満の階級の累積度数は、2 + 3 + 4 + 8 = 17 である。累積相対度数は 17 ÷ 20 = 0.85 である。 |
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| エ | 4点 | ||
| （5） |  上図のように、正三角形は4つの合同な小さい正三角形に分けられる。n個の正三角形を重なるようにかいていくときに、重なる部分の面積と重ならない部分の面積を、小さな正三角形の枚数におきかえて考える。  表のように、x個の正三角形をかくとき、重なる部分の面積（枚数）は ( x - 1 ) 枚、重ならない部分の面積（枚数）は ( 2x + 2 ) 枚になると考えられる。 ( x - 1 ) : ( 2x + 2 ) = 2 : 5 より、x = 9 。 |
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4点 | ||
| （6） | 平行四辺形ABCD の面積を S とする。 【△ABGの面積】 △ADB = (1/2)S より、△AEB = (1/4)S △AEG ∽ △CBG より、BE : GE = 2 : 1 だから、△ABG = (2/3)△ABE = (1/6)S 【△DEFの面積】 △DAC = (1/2)S、△DEF ∽ △DAC より、△DEF = (1/4)△DAC = (1/8)S 以上より、(1/6)S ÷ (1/8)S = (4/3)倍 |
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5点 | ||
| （7） | 放物線の式に点A、Bの x座標 を代入すると、点Aの y座標 は 4a、点Bの y座標 は 16a であり、AB間の yの増加量 は 16a - 4a = 12a 。また、AB間の xの増加量は 4 - (-2) = 6 。したがって直線ABの変化の割合は (12a/6) = 2a 。これが (1/2) に等しいから、2a = (1/2) より、a = (1/4) 。 A( -2 , 1 )、B( 4 , 4 ) となることから、切片は2 。したがって、直線ABの式は y = (1/2)x + 2 。 【直線ABの傾きについて】 原点を通る放物線と直線とが2点 A, B で交わっているとき、「点Aのx座標 と点Bのx座標 の和に放物線の式の x2の係数 をかけた値」は、直線ABの傾きと等しくなる。すなわち、a ( -2 + 4 ) = (1/2) であり、ここから a = (1/4) を求めてもよい。 |
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5点 | ||
| （8） | ABが直線ℓと交わる点をD、点Aを通り直線BCに平行な直線が直線ℓと交わる点をEとする。△EDA と △EAC は合同な直角二等辺三角形となり、DE = AE = EC = √2 である。 △DBCを1回転させてできる立体の体積から、△DACを1回転させてできる立体の体積を引いて、求める体積を計算する。  【△DBCを回転させてできる立体】 底面の半径が2√2、高さが2√2の円錐であるから、 (16√2)π/3〔cm3〕 …(1) 【△DACを回転させてできる立体】 △DAEを回転させてできる立体の2倍である。 △DAEを回転させてできる立体と△DBCを回転させてできる立体は相似であり、相似比 1 : 2 より 体積比は 1 : 8 だから、△DAEを回転させてできる立体の体積は、(1) ÷ 8 = (2√2)π/3 。△DACを回転させてできる立体の体積は、その2倍で (4√2)π/3〔cm3〕 …(2) 。 したがって、求める体積は、 (1) - (2) = (4√2)π〔cm3〕 |
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5点 | ||
| （9） | 円の中心をOとする。∠AOB、∠BOC、∠COD、……は、円周を10等分した弧に対する中心角であるから、それぞれ36°になる。 ∠AHBは弧ABに対する円周角なので、中心角と円周角の関係より、36° ÷ 2 = 18°。 弧EHに対する中心角（∠EOH）は 36° × 3 = 108°であるから、∠EAH = 108° ÷ 2 = 54°。 △AKHにおいて、内角の和より、 ∠AKH = 180° - ( 18° + 54° ) = 108°。 |
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5点 | ||
| （10） | 期間①と期間②について、それぞれ第1四分位数と第3四分位数を読み取る。箱ひげ図の箱部分の左端が第1四分位数、箱部分の右端が第3四分位数である。 【第1四分位数】 期間①では22日後、期間②では18日後である。 【第3四分位数】 期間①では26日後、期間②では22日後である。 以上より、第1四分位数と第3四分位数のどちらも、期間①より期間②の方が早い。したがって、期間②の方が開花日が早くなっていると考えられる。 |
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| （説明）期間①と期間②の箱ひげ図を比べると、 期間①より期間②の方が、第1四分位数、第3四分位数ともに基準日に近い から、期間①より期間②の方が、開花日は早くなっているといえると思うよ。 | 5点 | ||