埼玉県公立高校学力検査 2025年度
数学（学校選択）
大問1

（1）
			4点
（2）
			4点
（3）	( x - 3 ) を A に置き換える。 4xA = A2 を解いて、 A = 0 または A = 4x x - 3 = 0 のとき x = 3 x - 3 = 4x のとき x = -1
		x = 3, -1	4点
（4）	ア（正）21個のデータのうち小さい順に数えて11番目の値が中央値となる。中央値は 66 である。 イ（正）下位グループには10個のデータが含まれる。グループ内で小さい順に数えて5番目と6番目の値の平均が第一四分位数となる。( 54 + 54 ) ÷ 2 = 54 。 ウ（誤）上位グループには10個のデータが含まれる。グループ内で小さい順に数えて5番目と6番目の値の平均が第三四分位数となる。( 74 + 78 ) ÷ 2 = 76 。 エ（正）最大値と最小値の差が範囲である。90 - 45 = 45 。 以上より、誤っているものはウである。
		ウ	4点
（5）	連続する2つの自然数を n , n + 1 とする。 それぞれを2乗した数の和が 365 になるから、 n2 + ( n + 1 )2 = 365 と表せる。 これを解いて、 　n2 + n -182 = 0 　( n - 13 ) ( n + 14 ) = 0 　n = 13, -14 n は自然数であるから、n = -14 は問題に適していない。 よって n = 13 であり、2つの自然数は、13 と 14 である。
		13 と 14	4点
（6）	y が x に反比例するとき、 比例定数 a は xy で表される。よって、a = 6 × 3 = 18 である。 xy = 18 となるような ( x, y ) の組み合わせは、( 1, 18 ), ( 2, 9 ), ( 3, 6 ), ( 6, 3 ), ( 9, 2 ), ( 18, 1 ), ( -1, -18 ), ( -2, -9 ), ( -3, -6 ), ( -6, -3 ), ( -9, -2 ), ( -18, -1 ) の12個である。
		12 個	5点
（7）	【考え方】 　正四面体OABC を3点 P, Q, A を通る平面で切ったときにできる2つの立体は、△OBC を底面とみると、高さが等しい三角錐と四角錐になる。 　したがってその体積の比は、△OPQ と 四角形PBCQ の面積の比に等しい。 　△OPQ ∽ △OBC （相似比 1 : 2 ）であるから、△OPQ : △OBC = 1 : 4 、△APQ : 四角形PBCQ = 1 : 3 となる。 　以上より、頂点Bを含む立体の体積は、正四面体OABC の (3/4) になる。 【計算の手順】 　正四面体OABC の体積は、△ABC を底面とみて求める。 　A から BC に垂線を引き、BC との交点を M とする。三平方の定理より AM = 3√3 となる。 　頂点O から △ABC に垂線を引いて △ABC と交わる点を H とすると、点H は △ABC の重心であり、線分AM 上で AH = 2√3 となる点である。 　△OAH において OA = 6、AH = 2√3 であるから、三平方の定理より、OH = 2√6 となる。 　したがって、正四面体OABCの体積は、 V = 6 × 3√3 × (1/2) × 2√6 × (1/3) = 18√2 である。 　以上より、求める体積は、18√2 × (3/4) = (27√2)/2〔cm3〕となる。
			5点
（8）	1枚目に取り出したカードを箱に戻さないので、場合の数は 20通り である。樹形図を描いて 1/x + 1/y の値がどうなるかを調べる。 ( x, y ) について、1/x + 1/y の値が 2/3 以上 1 以下となる場合は、( 2, 3 ), ( 2, 4 ), ( 2, 5 ), ( 3, 2 ), ( 4, 2 ), ( 5, 2 ) の 6通り である。 よって、求める確率は、6/20 = 3/10 となる。
			5点
（9）	OA に平行で C を通るように引いた直線が、線分AB と交わる点を D、線分OB と交わる点を E とする。また 線分OC が 線分AB と交わる点を F とする。 △CEO は直角二等辺三角形となり、OC = 4 であるから、OE = 2√2、EB = 4 - 2√2 である。 EC = OE = 2√2、ED = BE = 4-2√2 より、DC = 4√2 - 4 となる。 △CDO の面積は、辺CD を底辺とみて、( 4√2 - 4 ) × 2√2 × (1/2) = 8 - 4√2 となる。 半直線ODが弧ABと交わる点をGとする。このとき、おうぎ形OCG の面積は、 42 π × (1/16) = π である。 以上より、O、D、G で囲まれた領域の面積は π - ( 8 - 4√2 ) = π - 8 + 4√2 となる。 求める面積はその2倍であるから、2π - 16 + 8√2〔cm2〕となる。
			5点
（10）	【アの値】 　相対度数は、「ある階級の度数の、度数の合計に対する割合」を小数で表したものである。 　B中学校における度数の合計は 60、「54回以上56回未満」の階級の度数は 21 であるから、相対度数は、21 ÷ 60 = 0.35 となる。 【説明】 　54回以上とんだ生徒の割合は、54回以上とんでいる3つの階級の相対度数の合計で表される。 　A中学校では、0.25 + 0.35 + 0.20 = 0.80 　B中学校では、0.35 + 0.15 + 0.05 = 0.55 　よって、A中学校のほうが割合が大きいとわかる。
	（アにあてはまる値） 0.35 （説明）（例） 　54回以上の階級における相対度数の合計はＡ中学校が0.8、Ｂ中学校が0.55であるから、割合が大きいのはＡ中学校である。		5点