埼玉県公立高校学力検査 2021年度
数学（学校選択）
大問5

（1）	点Q は出発してから 4 秒後に 点D に到着する。したがって x の変域は 0 ≤ x ≤ 4 である。 出発してから x 秒後には AQ = x である。また、このとき 点P は 辺AB 上を 点B に向かって動いており、x 秒後には AP = x である。 △APQ の面積は、AP を底辺、AQ を高さとみて（その逆でも可）、 y = (1/2)x2 と表せる。
			5点
（2）	【x の変域の分け方】 　△APQ と △AQC の形は、点P と 点Q の位置により変化するため、点P と 点Q の位置ごとに場合を分けて考える。 　点P は出発してから 5 秒後に 点B に到着する。 　点Q は出発してから 4 秒後に 点D に到着し、その 2 秒後（出発してから 6 秒後）に 点C、その 5 秒後（出発してから 11 秒後）に 点B に到着する。 　したがって、x の変域を 　　① 0 ≤ x ≤ 4 　　② 4 ≤ x ≤ 5 　　③ 5 ≤ x ≤ 6 　　④ 6 ≤ x ≤ 11 　の4つの場合に分け、それぞれの場合について △APQ と △AQC の面積を式で表す。 【① 0 ≤ x ≤ 4 の場合】 　点P と 点Q の位置は上図のようになる。 　△APQ の 辺AP を底辺とみる。AP = x 、AQ = x であるから、△APQ = (1/2)x2 　△AQC の 辺AQ を底辺とみる。DC = 2 であるから、△AQC = x 【② 4 ≤ x ≤ 5 の場合】 　点P と 点Q の位置は上図のようになる。 　△APQ の 辺AP を底辺とみる。AP = x 、AD = 4 であるから、△APQ = 2x 　△AQC の 辺QC を底辺とみる。QC = 6 - x 、DA = 4 であるから、△AQC = 12 - 2x 【③ 5 ≤ x ≤ 6 の場合】 　点P と 点Q の位置は上図のようになる。 　△APQ の 辺AP を底辺とみる。AP = AB = 5 、AD = 4 であるから、△APQ = 10 　△AQC の 辺QC を底辺とみる。QC = 6 - x 、DA = 4 であるから、△AQC = 12 - 2x 【④ 6 ≤ x ≤ 11 の場合】 　点P と 点Q の位置は上図のようになる。 　△APC について 辺PC を底辺とみる。△APQ と △AQC は、底辺PC を PQ : QC に分け高さの等しい二つの三角形であるから、その面積の比は PQ : QC に等しい。 　PQ = 11 - x 、QC = x - 6 と表すことができ、PC = 5 であるから、△APQ = △APC × ( 11 - x )/5 、△AQC = △APC × ( x - 6 )/5 である。 　また △APC の 辺AP を底辺とみると、AP = 5 、AD = 4 より、△APC = 10 である。以上より、 　△APQ = 22 - 2x 　△AQC = 2x - 12 【△APQ : △AQC = 3 : 1】 　①～④のそれぞれについて、△APQ : △AQC = 3 : 1 とする方程式を立てて x の値を求める。 　①では、x = 0, 6 となる。これは、どちらも問題に合わない。 　②では、x=(9/2)となる。これは問題に合っている。 　③では、x=(13/3)となる。これは問題に合わない。 　④では、x=(29/4)となる。これは問題に合っている。 以上より、xの値は x = (9/2), (29/4) となる。
			6点
（3）	台形ABCD の面積は、( 2 + 5 ) × 4 ÷ 2 = 14 であり、その半分は 7 である。 △APQ = 7 となるような x の値を、前問で求めた①～④のそれぞれについて求める。変域に合っているかどうかを確認する必要があることに注意する。 　①では、(1/2)x2 = 7 より、x = ±√14 となる。0 ≤ x ≤ 4 より、√14 は条件に合うが、-√14 は条件に合わない。 　②では、2x = 7 より、x = (7/2) となる。4 ≤ x ≤ 5 より、これは条件に合わない。 　③では、10 ≠ 7 であり、条件に合わない。 　④では、22 - 2x = 7 より、x = (15/2) となる。6 ≤ x ≤ 11 より、これは条件に合う。 以上より、xの値は x = √14, (15/2) となる。
	（説明） 台形ABCD の面積の半分は 7 cm2 点Q が 辺AD 上にあるとき、0 ≤ x ≤ 4 なので、(1/2)x2 = 7 から、x = ±√14 問題にあっているのは x = √14 点Q が 辺DC 上にあるとき、y = 7 にはならない。 点Q が 辺CB 上にあるとき、6 ≤ x ≤ 11 であり、点Q から 辺AB にひいた垂線の長さを h とすると、(1/2) × h × 5 = 7 から h = (14/5) h : QB = 4 : 5 なので、QB = (7/2) よって、x = AD + DC + CB - QB = (15/2) したがって、x = √14, (15/2)		6点