埼玉県公立高校学力検査 2024年度
数学（学校選択）
大問5

（1）	問題の図2で、直線BI が 直線AE と交わる点を J とする。またAE = 12、AB = EF = 6 である。 AB∥EF より、∠EFA = ∠FAB （平行線の錯角）。 ∠AIB = 90°だから、三角形の内角の和より、∠ABI = 90° - ∠IAB 。 ∠BAJ = 90°だから、∠IAJ = 90° - ∠IAB 。したがって∠ABJ = ∠EAF 。 △AEF ∽ △BAJ （2組の角がそれぞれ等しい、相似比は 2 : 1 ）より、AJ = 3 、したがって JE = 9 。 台形JEFB = ( 9 + 12 ) × 6 × (1/2) = 63〔cm2〕。 この台形を底面とし、高さが6の四角柱の体積が、残っている水の体積を表している。 残っている水の体積は、 V = 63 × 6 = 378〔cm3〕である。
			6点
（2）	問題の図3を使って考える。線分AP と 線分BF の交点を R とする。 【△AFP が直角二等辺三角形であることから、線分FP と 線分AP の長さを求める】 　△AEF において、三平方の定理より AF = 6√5 　△AFP は直角二等辺三角形だから、1 : 1 : √2 の辺の比より、 FP = AP = 3√10 【△ABR ∽ △FPR から、線分BR、線分RF の長さを求める】 　△ABR ∽ △FPR （2組の角がそれぞれ等しい）であり、AB = 6、FP = 3√10 より相似比は 6 : 3√10 = 1 : (√10)/2 。 　BR = a とすると、相似比より、PR = (√10)/2 × a 。 　AR = AP - RP = 3√10 - (√10)/2 × a 。 　相似比より、FR = (√10)/2 × AR = 15 - (5/2)a 。 　BR + RF = BF = 12 より、a + 15 - (5/2)a = 12 。 　これを解いて a = 2 。したがって BR = 2、RF = 10 。 【△BQR ∽ △FPR から、線分PQ の長さを求める】 　△BQR ∽ △FPR （2組の角がそれぞれ等しい）であり、BR = 2、RF = 10 より相似比は 1 : 5 。 　QR : RP = 1 : 5 より、PQ = (6/5)PR 。 　△FPR において、FR = 10、 FP = 3√10 だから、三平方の定理より、PR = √10 。 　したがって、PQ = (6/5) × √10 = (6√10)/5〔cm〕である。
			6点