埼玉県公立高校学力検査 2025年度
数学（学校選択）
大問5

（1）	容器を上から見下ろした図で考える。 四角形ABCD は正方形なので、AD = 15 。 ∠FAD = 90° であるから、線分FD は直径であり、FD = 18 。 △FAD に三平方の定理を用いて、FA = 3√11 。 よって、四角形ABEF の面積は、3√11 × 15 = 45√11 となる。
			6点
（2）	球O、球P の中心をそれぞれ 点O 、点P とする。 また、球O の半径を r 、球P の半径を 2r とする。 線分OP を含み、底面に垂直な面で切ったときの断面図で考える（下図）。 球O と 球P はそれぞれ底面と側面に接していることから、図のように、 　線分OP の長さは 3r 　点O と 点P の垂直距離は 15 - 3r 　点O と 点P の水平距離は 18 - 3r と表せる。 これに三平方の定理を適用して、( 3r )2 = ( 15 - 3r )2 + ( 18 - 3r )2 これを変形して、r2 - 22r + 61 = 0 解の公式より、r = 11 ± 2√15 15 - 3r > 0 でなければならないから、r < 5 r = 11 + 2√15 は条件に合わない。 よって、球Oの半径（の最大値）は r = 11 - 2√15 である。
			6点