埼玉県公立高校学力検査 2026年度
【追検査】数学（学校選択）
大問5

（1）	CD = 6 であるから、CP : PD = 1 : 2 のとき、CP = 2 、PD = 4 となる（上図）。△ADP に三平方の定理を用いて、AP = 2√13 である。 点A, E, P の位置関係は上図のとおりとなる。△AEPに三平方の定理を用いて、PE = 2√22〔cm〕 である。
			6点
（2）	【四角錐P-EFGHの表面積が最も小さくなるとき】 　四角錐P-EFGHの5つの面のうち、底面EFGH、側面△PEF、側面△PGHの3つは、点Pの位置にかかわらず面積は一定である。いっぽう側面△PHE、側面△PGFの2つは、点Pの位置により面積が変化する。 　△PHE において 辺HE を底辺とみると、∠PHE = 90° であるから、辺PH が高さとなる。同様に △PGF において 辺GF を底辺とみると、∠PGF = 90° であるから、辺PG が高さとなる。そのため、△PHE + △PGF = (1/2) × 6 × PH + (1/2) × 6 × PG = (1/2) × 6 × ( PH + PG ) である。これより、PH + PG が最も小さいとき、△PHE + △PGF は最も小さい。 【PH + PG が最も小さくなる点Pの位置】 　直線DC を軸として 点G と対称な点を G´ とする。対称な図形の性質より、常に PG = PG´ が成り立つので、PH + PG´ が最も小さくなるときに PH + PG は最も小さい。そして PH + PG´ が最も小さくなるのは、3点 H , P , G´ が一直線上にある場合である（下図参照）。 　このとき、△G´PC ∽ △G´HG が成り立つ（相似比は1:2）ので、PC = (1/2)HG = 3 となる。すなわち、点P は 線分DC の中点である。さらに、三平方の定理を用いて、PH = PG = 3√5 となる。 【それぞれの面の表面積】 　△PEF の高さは CF と等しいので 6√2 、△PGH の高さは CG と等しいので 6 である。 ［底面EFGH］ 6 × 6 = 36 …(1) ［側面△PEF］ (1/2) × 6 × 6√2 = 18√2 …(2) ［側面△PGH］ (1/2) × 6 × 6 = 18 …(3) ［側面△PHE］ (1/2) × 6 × 3√5 = 9√5 …(4) ［側面△PGF］ (1/2) × 6 × 3√5 = 9√5 …(5) 【四角錐P-EFGHの表面積】 　(1)～(5)を合計して、四角錐P-EFGH の表面積は 54 + 18√2 + 18√5〔cm2〕 となる。
			6点