| 問1 | △ABMは直角二等辺三角形となるから、∠AMB = 45°、∠AMP = 135°である。 四角形AMPQは平行四辺形であり（2組の対辺がそれぞれ平行）、対角は等しいから、∠AQP = 135°となる。 ∠AQM = a°より、∠MQP = ( 135 - a )°となる。 |
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| イ | 5点 | |||
| 問2 | ① | BM∥QDを利用して、∠MBR = ∠QDT （平行線の錯角）を示す。 ∠BRM と ∠DRA が対頂角であることに加え、AM∥QPを利用して、∠DRA = ∠DTQ （平行線の同位角）を示す。 以上から「2組の角がそれぞれ等しい」ことを導く。 |
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| 〔証明〕 △BMR と △DQT において、 BM ∥ QDより、平行線の錯角は等しいから、 ∠MBR = ∠QDT …(1) 対頂角は等しいから、 ∠BRM = ∠DRA …(2) AM ∥ QP より、平行線の同位角は等しいから、 ∠DRA = ∠DTQ …(3) (2)、(3)より、 ∠BRM = ∠DTQ …(4) (1)、(4)より、2組の角がそれぞれ等しいから、 △BMR ∽ △DQT |
7点 | |||
| ② | 【考え方】 BDの長さを共通の尺度としてSDとTDの長さを表し、STの長さを SD - TD として表す。 SDの長さを表すには △QDS ∽ △MBS を利用し、TDの長さを表すには △QDT ∽ △PBT を利用する。 【△QDS ∽ △MBS と △QDT ∽ △PBT】 仮定より MP : PC = 3 : 1 であり、点Mは辺BCの中点であるから、MP = 3、PC = 1 とみると BM = 4 となり、 BM : MP : PC = 4 : 3 : 1 である。また、辺BC = 8 とみることができる。 四角形AMPQが平行四辺形であることから、AQ = MP = 3 となり、AD = BC = 8 として QD = 5 とみることができる。したがって AQ : QD = 3 : 5 である。 以上のことより、△QDS ∽ △MBS（相似比 5 : 4 ）、△QDT ∽ △PBT （相似比 5 : 7 ）が言える。 【STの長さ】 DS : SB = 5 : 4 より、SD = (5/9)BD 。 DT : TB = 5 : 7 より、TD = (5/12)BD 。 ST = SD - TD = (5/36)BD 。よって、ST : BD = (5/36) : 1 = 5 : 36 となる。 |
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| え 5 お 3 か 6 全答 |
5点 | |||