東京都公立高校学力検査 2025年度
数学
大問4

問1		∠AQB は半円の弧に対する円周角であるから 90° である。 AQ = BQ のとき、△AQB は直角二等辺三角形となるため、∠QAB = 45° である。そこで ∠RAP = ∠QAP - ∠QAR = 45° - 20° = 25° 。 △RAP において、内角と外角の関係（三角形の外角は、それと隣り合わない二つの内角の和に等しい）より、25° + a = ∠BPR 。 したがって、∠BPR は （ a + 25 ）度 と表せる。
			イ	5点
問2	①	∠PAR は 弧BR の円周角であり、∠QAR は 弧QR の円周角である。等しい弧に対する円周角は等しい（円周角の定理の逆）ので、∠PAR = ∠QAR となる。 ここから、合同条件「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」を導く。
		〔証明〕 　△APR と △AQR において、 　　共通な辺だから、 　　　AR = AR …(1) 　　仮定から、 　　　AP = AQ …(2) 　　仮定から、 　　　 　　等しい弧に対する円周角は等しいから、 　　　∠PAR = ∠QAR …(3) 　　(1)、(2)、(3)より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、 △APR=△AQR		7点
	②	【考え方】 　（1）AQ ∥ OR であることを見出す。 　（2）△ASQ ≡ △RST であることを見出す。 　（3）△RST = S として、四角形AORQ の面積を S を使って表す。 【AQ∥OR】 　OA = OR より、△OAR は二等辺三角形であるから、∠ORA = ∠OAR （底角）。∠ORA = ∠QAR となる（錯角が等しい）ので、AQ ∥ OR である。 【△ASQ≡△RST】 　△APR ≡ △AQR （①の結果）より AP = AQ である。AP : OP = 2 : 1 であるから、AP = 2 、OP = 1 とみると AQ = 2 、OA = 2 + 1 = 3 、OR = OA = 3 とみることができる。 　また、AQ ∥ OT より △BTO ∽ △BQA となり（2組の角がそれぞれ等しい）、相似比（ 1 : 2 ）より OT = (1/2)AQ なので OT = 1 とみることができる。したがって RT = 3 - 1 = 2 とみることができ、AQ = RT と AQ ∥ RT より △ASQ ≡ △RST が成り立つ（1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい）。 【四角形AORQの面積】 　△RST = S とする。△ASQ ≡ △RST より △ASQ = S である。 　また SQ = ST であり、△RQS と △RST は底辺と高さが等しいので面積も等しい。すなわち △RQS = S である。ここから、△AQR = △AQS + △RQS = 2S と表せる。 　△APR ≡ △AQR （①の結果）より △APR = 2S である。また、△APR と △OPR は、それぞれ AP 、OP を底辺とみると高さが等しいので、面積の比は底辺の比に等しい。したがって △OPR = (1/2)△APR = S となる。 　したがって、四角形AORQ = △AQR + △APR + △OPR = 2S + 2S + S = 5S となる。 　以上より、△RST の面積は 四角形AORQ の面積の 5分の1倍 である。
			う 1 え 5	5点