| 問1 | 辺AD を 点A の側（左方向）に延長し、点A より左側に 点E をとる。 AD ∥ BC より、平行線の錯角は等しいから、∠EAB = ∠ABC = 50°となる。 ∠DAP = 180° - ( ∠EAP + ∠BAP ) = 180° - ( 50° + a° ) = ( 130 - a )° である。 |
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|---|---|---|---|---|
| ウ | 5点 | |||
| 問2 | ① | AD ∥ BP であることから錯角は等しい。また 点Q をはさむ対頂角も等しい。これらから相似条件として「2組の角がそれぞれ等しい」ことを示す。 | ||
| 〔証明〕 △AQD と △PQB において、 対頂角は等しいから、 ∠AQD = ∠PQB …(1) AD∥BC より、平行線の錯角は等しいから、 ∠ADQ = ∠PBQ …(2) (1)、(2)より、2組の角がそれぞれ等しいから、 △AQD ∽ △PQB |
7点 | |||
| ② | 【線分BQ・線分QS・線分SD】 BP : PC = 3 : 2 より BP = (3/5)BC 、また AD = BC であるから、AD : BP = 5 : 3 。 ①のとおり △AQD ∽ △PQB なので、DQ : BQ = 5 : 3 。 … (1) PR ∥ BD より △CPR ∽ △CBD が成り立つ（2組の角が等しい、相似比は 2 : 5 ）ので、DR = (3/5)DC 、AB = DC より、AB : DR = 5 : 3 。 △ABS ∽ △RDS が成り立つので、BS : DS = 5 : 3 。 … (2) BD の長さを L とすると、(1) より BQ = (3/8)L 、(2)より DS = (3/8)L となり、QS = BD - ( BQ + DS ) = (2/8)L となるから、BQ : QS : SD = 3 : 2 : 3 。 【△PSQの面積】 四角形ABCD の面積を T とすると、△CBD = (1/2)T 。 △CBD において BC を底辺とみると、底辺の比より、△DBP : △DPC = 3 : 2 （高さの等しい三角形の面積比は底辺の比に等しい）。 よって △DBP = (3/5)△CBD = (3/10)T 。 △DBP において DB を底辺とみると、底辺の比より、△PDS : △PSQ : △PQB = 3 : 2 : 3 。 よって △PSQ = (2/8)△DBP = (3/40)T 。 したがって、△PSQ の面積は 四角形ABCD の面積の (3/40)倍 である。 |
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| う 3 え 4 お 0 |
5点 | |||
最終編集： 2025-12-02